Năm 2014, anh trở thành nhà vô địch giải U12 Đan Mạch nội dung đôi nam nữ với Clara Tauson.[4] Ba năm sau, anh giành giải U14 châu Âu ở nội dung đơn.[5] Ở tuổi 15, anh trở thành tay vợt nam trẻ nhất Đan Mạch vô địch giải indoor tournament 2019.[6]

Vào ngày 28 tháng 10 năm 2019, anh đạt vị trí số 1 bảng xếp hạng ITF trẻ trên thế giới.[7] Vào ngày 8 tháng 6 năm 2019, Rune đánh bại Toby Alex Kodat để vô địch đơn nam trẻ Pháp Mở rộng 2019. Vào ngày 28 tháng 10 năm 2019, anh đánh bại Harold Mayot để vô địch ITF Junior Finals 2019.

Holger được đặc cách và vô địch giải Blois ATP Challenger.[8][9] Tại thời điểm đó, anh 16 tuổi, 1 tháng và 18 ngày. Holger cũng tham dự giải Amersfoort Challenger vào tháng 7 năm 2019, nơi anh giành danh hiệu ATP Challenger thứ 2.[10]